机械波简介
横波与纵波
机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播, 形成机械波. 产生机械波需要有两个条件: 波源, 弹性介质.
按介质中质元的振动方向和波在介质中传播的方向之间的关系, 可以把波分成横波与纵波.
若质元的振动方向和波的传播方向相互垂直, 这种波称为横波; 若质元的振动方向和波的传播方向相互平行, 这种波称为纵波.
产生机械横波与机械纵波的介质条件
只有固体才能传播机械横波: 固体能够发生切变, 液体和气体不能.
固体, 液体和气体都能传播机械纵波: 固体, 液体和气体都能产生压缩和膨胀形变.
波的几何描述
波面: 在波的传播过程中, 任一时刻介质中振动相位相同的点连结形成的面. 也称之为波阵面.
波线: 波的传播方向. 也称之为波阵面.
波前: 某一时刻, 波传播到的最前面的波面.
在各向同性的均匀介质中, 波线与波面垂直.
波的特征量
波长: 同一波线上两个相邻的, 相位差为 $2\pi$ 的质元之间的距离, 用 $\lambda$ 表示.
周期, 频率: 波前进一个波长所需的时间称为波的周期, 用 $T$ 表示; 周期的倒数称为波的频率, 用 $\nu$ 表示.
波速: 单位时间内振动状态传播的距离, 用 $u$ 表示. 又称相速.
这四个特征量有以下关系:
\[u=\frac{\lambda}{T}=\nu\lambda\]角波数: $2\pi$ 距离内波的数目, 用 $k$ 表示. $\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}$ .
简谐波
若介质传播的是谐振动, 且波的所到之处, 介质中各个质点作同频率的谐振动, 则称这样的波为简谐波. 若简谐波的波面为平面, 则称之为平面简谐波.
平面简谐波的波函数
一般的波, 可以用波函数 $y=f(x,t)$ 描述. 对于向 $+x$ 方向传播的平面简谐波, 我们有:
\[y(x,t)=A\cos(\omega t - kx+\phi_0)\]通过特征量之间的关系, 可以得到平面简谐波波函数的其他表达形式:
\[\left.\begin{aligned} y&=A\cos\left[\omega\left(t\mp\frac{x}{u}\right)+\phi_0\right]\\ y&=A\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T}\mp\frac{x}{\lambda}\right)+\phi_0\right]\\ y&=A\cos\left[2\pi\left(\nu t\mp\frac{x}{\lambda}\right)+\phi_0\right]\\ y&=A\cos(\omega t\mp kx+\phi_0)\\ y&=A\cos\left(\omega t\mp\frac{2\pi x}{\lambda}+\phi_0\right) \end{aligned}\right\}\]波动方程
下式反映了一切波 $\xi=\xi(x,y,z,t)$ 的传播特征:
\[\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\xi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\xi}{\partial z^2}=\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}\]这是以 $u$ 为传播速度的波动过程.
波的能量与波的强度
波的能量
以线密度(单位长度的质量)为 $\rho_l$ 的弦线上传播平面简谐波为例, 设波函数:
\[y=A\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_0\right]\]取 $x$ 处长为 $\Delta x$ 的线元, 其动能为:
\[\Delta E_k=\frac{1}{2}\rho_l\Delta x\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2\]弦线上的张力, 使得线元由原长 $\Delta x$ 变为 $\Delta l$ , 即伸长了 $\Delta l - \Delta x$ , 其弹性势能应等于 $F$ (近似以静止弦张力计算) 在线元伸长过程中做的功:
\[\Delta E_p=F(\Delta l - \Delta x)\]在 $\Delta x$ 很小时:
\[\begin{aligned} \Delta l&=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\Delta x\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\\ &\approx\Delta x\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}\approx\Delta x\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\right] \end{aligned}\]得到:
\[\Delta E_p\approx\frac{1}{2}F\Delta x\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\]由于是平面简谐波, 因此:
\[\left\{\begin{aligned} \frac{\partial y}{\partial t}&=-\omega A\sin\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_0\right]\\ \frac{\partial y}{\partial x}&=\frac{\omega}{u}A\sin\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_0\right] \end{aligned}\right.\]可以得到:
\[\begin{aligned} \Delta E_k&=\frac{1}{2}\rho_l\Delta x\omega^2A^2\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_0\right]\\ \Delta E_p&=\frac{1}{2}F\Delta x\frac{\omega^2}{u^2}A^2\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_0\right] \end{aligned}\]利用弦上横波的波速公式: $u=\displaystyle\sqrt{\frac{F}{\rho_l}}$ , 可以对 $\Delta E_p$ 进行化简:
\[\Delta E_p=\frac{1}{2}\rho_l\Delta x\omega^2A^2\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_0\right]\Rightarrow\Delta E_k=\Delta E_p\]总机械能:
\[\Delta E=\Delta x\rho_l\omega^2A^2\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_0\right]\]可以得到结论:
- 介质中任一质元的动能和势能是同步变化的, 即 $\Delta E_k=\Delta E_p$ ;
- 质元机械能 $\Delta E$ 随时间变化, 波动过程是能量的传播过程;
- 质元的机械能为 $\displaystyle\Delta E=\Delta x\rho_l\omega^2A^2\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_0\right]$ .
引入能量密度: 介质中单位体积的波动能量, 用 $w$ 表示. 若质元的横截面为 $S$ , 体密度为 $\rho=\displaystyle\frac{\rho_l}{S}$ , 则能量密度:
\[w=\frac{\Delta E}{S\Delta x}=\rho\omega^2A^2\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_0\right]\]能量密度随时间周期性变化, 取其一周期内平均值, 得到平均能量密度:
\[\overline{w}=\frac{1}{T}\int_0^Tw\operatorname{d}t=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2\]波的强度
引入能流: 单位时间内通过介质中某截面的能量, 用 $P$ 表示. 若介质中某截面的面积为 $S$ , 波速为 $u$, 能量密度为 $w$ , 则:
\[P=wuS\]同样, 能流也随时间周期性变化, 取其一周期内的平均值, 得到平均能量密度:
\[\overline{P}=\frac{1}{T}\int_0^TP\operatorname{d}t=\overline{w}uS\]引入平均能流密度: 通过与波动传播方向垂直的单位面积上的平均能流, 又称波的强度, 用 $I$ 表示:
\[I=\overline{w}u=\frac{1}{2}\rho u\omega^2 A^2\xlongequal{Z:=\rho u}\frac{1}{2}Z\omega^2A^2\]式中 $Z$ 称为特性阻抗. 该式表明:
- $I\propto A^2$ ;
- $I\propto \omega^2$ ;
- $I\propto Z$ .
球面波
波在传播过程中, 若介质不吸收能量, 则波通过两个不同的面时的总能流应相等. 球面波中, 即为:
\[\frac{1}{2}\rho u\omega^2A_1^2\cdot4\pi r_1^2=\frac{1}{2}\rho u\omega^2A_2^2\cdot4\pi r_2^2\Rightarrow\frac{A_1}{A_2}=\frac{r_2}{r_1}\]即振幅与离开波源的距离成反比, 因此球面简谐波的表达式为:
\[\xi=\frac{A_0r_0}{r}\cos\left[\omega\left(t-\frac{r}{u}\right)+\phi_0\right]\]其中, $r:=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ , $A_0$ 为 $r_0$ 处的振幅.
惠更斯原理
惠更斯于1678年提出了关于波传播的几何法则: 在波的传播过程中, 波阵面(波前)上的每一点都可以看做是发射子波的波源, 在其后的任一时刻, 这些子波的包迹就成为新的波阵面. 这就是惠更斯原理.
波在传播过程中, 若遇到障碍物, 其传播方向绕过障碍物发生偏折的现象, 称为波的衍射.
通过惠更斯原理, 可以导出折射定律:
\[\frac{\sin i}{\sin\gamma}=\frac{u_1\Delta t}{u_2\Delta t}=n_{21}\]波的叠加与波的干涉
波的叠加原理
若有几列波同时在一介质中传播, 如果这几列波在空间中相遇, 那么它们将维持自身原有的特性(频率, 波长, 振动方向等)独立传播.
在相遇的区域内, 任一质元的振动为各列波单独在该点引起的振动的合振动, 这就是波的叠加原理.
波的干涉
波的干涉现象
当两列或多列波叠加时, 其合振动的振幅 $A$ 和合强度 $I$ 将在空间形成一种稳定的分布, 即某些点上的振动始终加强, 某些点上的振动始终减弱的现象.
相干条件: 频率相同, 振动方向相同, 相位差恒定.
干涉规律
考虑由波源 $S_1$ 和 $S_2$ 产生的波在空间点 $P$ 处相遇, 两列波在该点处引起的振动表达式为:
\[\left\{\begin{aligned} y_1&=A_1\cos\left(\omega t+\phi_{01}-\frac{2\pi r_1}{\lambda}\right)\\ y_2&=A_2\cos\left(\omega t+\phi_{02}-\frac{2\pi r_2}{\lambda}\right) \end{aligned}\right.\]根据叠加原理, $P$ 处的合振动为:
\[y=y_1+y_2=A\cos(\omega t+\phi_0)\]其中:
\[\begin{aligned} A&=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\left(\phi_{02}-\phi_{01}-2\pi\frac{r_2-r_1}{\lambda}\right)}\\ \phi_0&=\arctan\frac{ A_1\sin\left(\phi_{01}-\displaystyle\frac{2\pi r_1}{\lambda}\right)+ A_2\sin\left(\phi_{02}-\displaystyle\frac{2\pi r_2}{\lambda}\right)}{ A_1\cos\left(\phi_{01}-\displaystyle\frac{2\pi r_1}{\lambda}\right)+ A_2\cos\left(\phi_{02}-\displaystyle\frac{2\pi r_2}{\lambda}\right)} \end{aligned}\]这两列波在空间任意一点的振动相位差: $\Delta\phi=\phi_{02}-\phi_{01}-2\pi\displaystyle\frac{r_2-r_1}{\lambda}$ 是一个定值.
根据 $A$ 的表达式, 得到相干相涨条件:
\[\Delta \phi=2k\pi\quad (k=0,\pm1,\pm2,\dotsm)\]相干相消条件:
\[\Delta \phi=(2k+1)\pi\quad (k=0,\pm1,\pm2,\dotsm)\]若 $\phi_{02}=\phi_{01}$ , 则上述条件得到简化.
相干相涨条件:
\[\delta=r_1-r_2=k\lambda\quad (k=0,\pm1,\pm2,\dotsm)\]相干相消条件:
\[\delta=r_1-r_2=\left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda\quad (k=0,\pm1,\pm2,\dotsm)\]关于叠加后波的强度:
\[I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\phi\]若两列波强度相等 $I_1=I_2=I_0$ , 那么有:
\[I=4I_0\cos^2\frac{\Delta\phi}{2}\]驻波
若有两列振幅相同, 相向传播的相干波, 它们叠加的结果即为驻波.
考虑如下两列波:
\[\left\{\begin{aligned} y_1&=A\cos2\pi\left(\nu t-\frac{x}{\lambda}\right)\\ y_2&=A\cos2\pi\left(\nu t+\frac{x}{\lambda}\right) \end{aligned}\right.\]叠加结果:
\[\begin{aligned} y&=y_1+y_2=A\left[\cos2\pi\left(\nu t-\frac{x}{\lambda}\right)+\cos2\pi\left(\nu t+\frac{x}{\lambda}\right)\right]\\ &=2A\cos2\pi\frac{x}{\lambda}\cos2\pi\nu t \end{aligned}\]波腹: $\displaystyle\left\vert\cos\frac{2\pi x}{\lambda}\right\vert=1\Leftrightarrow x=k\frac{\lambda}{2}\quad (k=0,\pm1,\pm2,\dotsm)$
波节: $\displaystyle\left\vert\cos\frac{2\pi x}{\lambda}\right\vert=0\Leftrightarrow x=(2k+1)\frac{\lambda}{4}\quad (k=0,\pm1,\pm2,\dotsm)$
波节点将介质划分为长为 $\displaystyle\frac{\lambda}{2}$ 的许多段, 每段中振幅不同但相位相同; 而相邻段间各质点的振动相位相反. 即驻波中不存在相位传播, 也就没有能量的传播.
半波损失
在波垂直入射的情况下, 把密度 $\rho$ 与波速 $u$ 的乘积 $\rho u$ 较大的称为波密介质, 较小的称为 波疏介质 .
当波从波疏介质传播到波密介质, 在分界处反射时, 反射点是波节, 有相位 $\pi$ 的突变, 称作半波损失;
当波从波密介质传播到波疏介质, 在分界处反射时, 相位没有突变, 没有半波损失.
多普勒效应
由于观察者(接收器)或波源, 或两个同时相对介质运动, 而使得观察者接收到的频率与波源发出的频率不同的现象, 称为多普勒效应.
若波源波速为 $u$ , 频率为 $\nu_s$ . 作以下三种情况讨论.
仅观察者相对于介质运动
设观察者相对于介质的速度为 $v_o$ . 规定观察者接近波源时取正, 远离波源时取负.
不难有结论:
\[\nu=\frac{u+v_o}{u}\nu_0\]仅波源相对于介质运动
设波源相对于介质的速度为 $v_s$ . 规定波源接近观察者时取正, 远离观察者时取负.
不难有结论
\[\nu=\frac{u}{u-v_s}\nu_0\]观察者与波源同时相对于介质运动
直接综合上述两种情况:
\[\nu=\frac{u+v_o}{u-v_s}\nu_0\]分析 $v_o$ 和 $v_s$ 的符号时:
- 若波源和观察者相向运动, 应均为正;
- 若波源和观察者相背运动, 应均取负;
- 若波源和观察者同向运动:
- 若观察者速度方向指向波源, 则 $v_o$ 取正, $v_s$ 取负;
- 若观察者速度方向背离波源, 则 $v_o$ 取负, $v_s$ 取正.
电磁波的多普勒效应
考虑到相对论效应, 可以得到:
\[\nu=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}\nu_0\]式中 $v$ 为波源和接受器间的相对运动速度, 两者相互靠近时取正, 相互远离时取负.
相互靠近时, 观察者接收到的电磁波频率比波源频率高, 称为紫移;
相互远离时, 观察者接受到的电磁波频率比波源频率低, 称为红移.
