复数的矩阵表示
引入实数 $1$ 对应的实部单位阵 $\bm{I}$ :
\[\bm{I}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]引入虚数 $i$ 对应的虚部单位阵 $\bm{J}$ :
\[\bm{J}=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]矩阵 $\bm{J}$ 的线性变换含义是逆时针旋转 $90^\circ$ .
称复数 $z$ 对应的矩阵为 $\bm{Z}$ :
\[\bm{Z}=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} = a\cdot\bm{I} + b\cdot\bm{J}\]其中 $a$ 为 $z$ 的实部, $b$ 为 $z$ 的虚部.
令集合:
\[\bm{\Xi}=\left\{\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \middle\vert a,b\in\bf{R} \right\}\]本质上, 构造了双射 $\zeta : \bf{C}\rightarrow\Xi$ .
复数基本运算的矩阵表示
考虑复数 $z_1=a_1+b_1i, z_2=a_2+b_2i$ , 矩阵 $\bm{Z}_1=\zeta(z_1),\bm{Z}_2=\zeta(z_2)$ , 下面给出其运算与矩阵的对应形式.
| 复数运算 | 矩阵形式 |
|---|---|
| $z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$ | $\bm{Z}_1+\bm{Z}_2=(a_1+a_2)\bm{I}+(b_1+b_2)\bm{J}$ |
| $kz_1=(ka_1)+(kb_1)i$ | $k\bm{Z}_1=(ka_1)\bm{I}+(kb_1)\bm{J}$ |
| $z_1z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$ | $\bm{Z}_1\bm{Z}_2=(a_1a_2-b_1b_2)\bm{I}+(a_1b_2+a_2b_1)\bm{J}$ |
| $\vert z_1\vert=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$ | $\sqrt{\det\bm{Z}_1}=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$ |
| $\overline{z_1}=a_1-b_1i$ | $\bm{Z}_1^T=a_1\bm{I}-b_1\bm{J}$ |
| $z_1^{-1}=\vert z_1\vert^{-1}\cdot\overline{z_1}(z_1\neq0)$ | $\bm{Z}_1^{-1}=(\det \bm{Z}_1)^{-1}\cdot\bm{Z}_1^T(\bm{Z}_1\neq\bm{O})$ |
易证 $\bm{\Xi}$ 内的矩阵 $\bm{Z}_1,\bm{Z}_2$ 满足乘法交换律: $\bm{Z}_1\bm{Z}_2=\bm{Z}_2\bm{Z}_1$ . 这与复数本身的乘法交换律相对应.
也易证 $\bm{\Xi}$ 对加法, 数乘, 乘法均封闭.
从矩阵看复数乘法的线性变换意义
对于一个矩阵 $\bm{Z}=a\bm{I}+b\bm{J}$ 可作变化:
\[\begin{aligned} \bm{Z}=&\sqrt{\det\bm{Z}}\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & \displaystyle-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} & \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{bmatrix}\\ \xlongequal{r:=\sqrt{\det\bm{Z}}}&\underbrace{\begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{bmatrix}}_{\text{Scaling}} \underbrace{\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}}_{\text{Rotation}}=r\cos\theta\cdot\bm{I}+r\sin\theta\cdot\bm{J} \end{aligned}\]因此复数乘法在线性变换中可解释为旋转与伸缩. 显然, 上式中伸缩矩阵与旋转矩阵是可交换的, 也就是说旋转与伸缩无先后关系. 实质上, $r$ 即为复数的模, $\theta$ 即为复数的辐角.
特别地, 矩阵 $\bm{J}$ 代表的线性变换为逆时针旋转 $90^\circ$ .
另外, 对于多个复数乘法的情形, 可用上式进行迅速简化计算:
\[\prod_{k=1}^n\bm{Z}_k=\begin{bmatrix} \displaystyle\prod_{k=1}^nr_k & 0 \\ 0 & \displaystyle\prod_{k=1}^nr_k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \displaystyle\cos\sum_{k=1}^n\theta_k & -\displaystyle\sin\sum_{k=1}^n\theta_k \\ \displaystyle\sin\sum_{k=1}^n\theta_k & \displaystyle\cos\sum_{k=1}^n\theta_k \end{bmatrix}\]类似, 复数的幂次方运算也可如上式进行迅速简化:
\[\bm{Z}^n=\begin{bmatrix} r^n & 0 \\ 0 & r^n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \displaystyle\cos n\theta & -\displaystyle\sin n\theta \\ \displaystyle\sin n\theta & \displaystyle\cos n\theta \end{bmatrix}\]复变函数的矩阵表示
函数 $f:\bf{C}\rightarrow\bf{C}$ 称为复变函数. 引入 $\mathscr{F}:\bf{\Xi}\rightarrow\bf{\Xi}$ 称为复变函数 $f$ 的矩阵表示.
复变函数极限的矩阵表示
\[\forall\varepsilon>0,\exist\delta>0\quad\text{s.t.}\quad\forall z \quad \vert z-z_0\vert<\delta\rightarrow\vert f(z)-w\vert<\varepsilon\]则称 $f$ 在 $z_0$ 处的极限为 $w$ .
相应的矩阵表示为:
\[\forall\varepsilon>0,\exist\delta>0\quad\text{s.t.}\quad\forall\bm{Z} \quad \det(\bm{Z}-\bm{Z}_0)<\delta\rightarrow\det(\mathscr{F}(\bm{Z})-\bm{W})<\varepsilon\]则称 $\mathscr{F}$ 在 $\bm{Z}_0$ 处的极限为 $\bm{W}$ .
复变函数微分的矩阵表示
若存在复数 $f^{\prime}(z_0)$ 使得 $z_0$ 附近的任意点 $z=z_0+\Delta z$ 都有:
\[f(z)-f(z_0)=f'(z_0)\Delta z+r(\Delta z),\quad\lim_{\vert\Delta z\vert\rightarrow0}\frac{\vert r(\Delta z)\vert}{\vert\Delta z\vert}=0\]则称 $f^{\prime}(z_0)\Delta z$ 为 $f$ 在 $z_0$ 处的微分.
相应的矩阵表示为: 若存在 $2\times2$ 方阵 $\mathscr{F}^{\prime}(\bm{Z}_0)$ 使得任意的矩阵 $\bm{Z}=\bm{Z}_0+\bm{\Delta Z}$ 都有:
\[\mathscr{F}(\bm{Z})-\mathscr{F}(\bm{Z}_0)=\mathscr{F}'(\bm{Z}_0)\bm{\Delta Z}+\bm{r}(\bm{\Delta Z}),\quad\lim_{\det\bm{\Delta Z}\rightarrow0}\frac{\det\bm{r}(\bm{\Delta Z})}{\det\bm{\Delta Z}}=0\]则称 $\mathscr{F}^{\prime}(\bm{Z}_0)\bm{\Delta Z}$ 为 $\mathscr{F}$ 在 $\bm{Z}_0$ 处的微分.
由于集合 $\bm{\Xi}$ 对加法与乘法封闭, 因此 $\mathscr{F}^{\prime}(\bm{Z}_0)\in\bm{\Xi}$ .
矩阵表示下复变函数微分的求解
命复变函数 $f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ , 其中 $x,y$ 分别为 $z$ 的实部与虚部, 则 $f$ 对应的矩阵表示为:
\[\mathscr{F}(\bm{Z})=\begin{bmatrix} u(x,y) & -v(x,y) \\ v(x,y) & u(x,y) \end{bmatrix}\]根据微分的矩阵表示:
\[\begin{aligned} &\begin{bmatrix} u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) & -v(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) \\ v(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) & u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} u(x_0,y_0) & -v(x_0,y_0) \\ v(x_0,y_0) & u(x_0,y_0) \end{bmatrix}\\ =&\mathscr{F}'(\bm{Z}_0)\cdot\begin{bmatrix} \Delta x & -\Delta y \\ \Delta y & \Delta x \end{bmatrix} + \bm{r}(\bm{\Delta Z}) \end{aligned}\]待定 $\mathscr{F}^{\prime}(\bm{Z}_0)$ 为
\[\mathscr{F}'(\bm{Z}_0)=\begin{bmatrix} \Re & -\Im \\ \Im & \Re \end{bmatrix}\]记 $\Delta u:=u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0),\Delta v:=v(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)$ , 得:
\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} \Delta u & -\Delta v \\ \Delta v & \Delta u \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} \Re & -\Im \\ \Im & \Re \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \Delta x & -\Delta y \\ \Delta y & \Delta x \end{bmatrix}+\bm{r}(\bm{\Delta Z})\\ &=\begin{bmatrix} \Re\Delta x-\Im\Delta y & -(\Re\Delta y+\Im\Delta x) \\ \Re\Delta y+\Im\Delta x & \Re\Delta x-\Im\Delta y \end{bmatrix}+\bm{r}(\bm{\Delta Z}) \end{aligned}\]比对矩阵相应的项, 可得:
\[\left\{\begin{aligned} \Delta u&=\Re\Delta x-\Im\Delta y+r_u(\Delta x, \Delta y)\quad\frac{r_u(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\rightarrow0\\ \Delta v&=\Re\Delta y+\Im\Delta x+r_v(\Delta x, \Delta y)\quad\frac{r_v(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\rightarrow0 \end{aligned}\right.\quad (\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\rightarrow0)\]令 $\bm{\Delta Z}\rightarrow\bm{O}\Leftrightarrow\Delta x\rightarrow0, \Delta y\rightarrow0$ , 则有:
\[\left\{\begin{aligned} \operatorname{d}u&=\Re\operatorname{d}x-\Im\operatorname{d}y\\ \operatorname{d}v&=\Re\operatorname{d}y+\Im\operatorname{d}x \end{aligned}\right.\]由二元函数微分的性质, 得到:
\[\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert_{x=x_0}=\Re=\left.\frac{\partial v}{\partial y}\right\vert_{y=y_0}\qquad\left.-\frac{\partial u}{\partial y}\right\vert_{y=y_0}=\Im=\left.\frac{\partial v}{\partial x}\right\vert_{x=x_0}\]这又称作 Cauchy-Riemann 方程.
因此:
\[\mathscr{F}'(\bm{Z}_0)=\begin{bmatrix} \Re & -\Im \\ \Im & \Re \end{bmatrix}\qquad\left(\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert_{x=x_0}=\Re=\left.\frac{\partial v}{\partial y}\right\vert_{y=y_0},\:\left.-\frac{\partial u}{\partial y}\right\vert_{y=y_0}=\Im=\left.\frac{\partial v}{\partial x}\right\vert_{x=x_0}\right)\]利用这个结论, 还可以得到一个更普适的计算方式:
\[\mathscr{F}'(\bm{Z}_0)=\left.\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial u}{\partial y} \\\\ \displaystyle\frac{\partial v}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix}\right\vert_{(x,y)=(x_0,y_0)}\quad(\text{Jacobi Matrix})\]若把复变函数 $f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ 写作向量值函数:
\[f(\vec z)=f\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u(x,y) \\ v(x,y) \end{bmatrix}\]则该 $\text{Jacobi Matrix}$ 正是对应的 $\bm{J} f(\vec z_0)$ 矩阵.
